わかりやすい!波の式の求め方 [写真パターンと葉っぱパターン]

どうも、かきのたねです。

波の式の求め方って、結構わかり難いですよね。今回は、ある瞬間の波の形(\( yx \)グラフ)、またはある特定の位置での振動(\( yt \)グラフ)が与えられたときの波の式の求め方を解説します。

どちらの場合も波の式の求め方は、次の考えが重要となります。

時刻\( t \),位置\( x \)での変位を求めるのだが、その変位はどこかから伝わってきたものである。

この解説では、波について次の値が与えられているものとします。

  • 速さ \( v \)
  • 波長 \( \lambda \)
  • 振動数 \( f \) (周期 \( T=\frac{1}{f} \) )
  • 振幅 \( A \)

問題を解く際は、\( v=f\lambda \) などを使って、予め求めておきましょう。

ある時刻での波の形(\( yx \)グラフ)が与えられているとき

与えられた条件:写真パターン

時刻\( t \)での波が図のようになっていたとしよう。\( x \)は位置、\( y \)は変位を表している。

\[ y = A\sin{2\pi \frac{x}{\lambda }} \]

時刻\( t=0 \)で海の波の写真を撮ったようなものだ。

時間経過で波は下のように伝わっていく。この波の式が、今求めたいものである。(ここでは波が右向きに進むこととした)

波の式を求める

時刻\( t=0 \)での波は次の式で表せていた。

\[ y(t=0,x) = A\sin{2\pi\frac{x}{\lambda }} \]

波は\( t \)秒間で\( vt \)だけ右向きに進むので、

次の2つの変位は同じである!

  • 時刻 \( 0 \), 位置 \( x-vt \)
  • 時刻 \(t \), 位置 \( x \)

このことから、

波の式

\[ y(t,x) = y(t=0,x-vt) = A\sin{2\pi\frac{x-vt}{\lambda }} = A\sin{\frac{2\pi }{\lambda }(x-vt)} \]

さらに\( v=f\lambda \)を使うと、次のように書き換えられる。

\[ y(t,x) = A\sin{2\pi (\frac{x}{\lambda }-ft)} \]

これが求めたかった波の式だ。

 

かきのたね
かきのたね

長さ1mのなかに波が何波長分入っているかを表すものとして、波数\( k \)というものがあるよ。

\[ 波数 : k = \frac{1}{\lambda } \]

これを使うと波の式は、こんな感じに綺麗に書き換えられるんだ。

\[ y(t,x) = A \sin{2\pi (kx – ft)}\]

 

上の解説では波が右向きに進んでいるものとした。

波が左向きに進んでいるときは、波は\( t \)秒間に\( vt \)だけ左向きに進むので、次の2つの変位が同じとなる。

  • 時刻 \( 0 \), 位置 \( x+vt \)
  • 時刻 \(t \), 位置 \( x \)

このことから、波の式はこのように変わる。

\[ y(t,x) = A\sin{\frac{2\pi }{\lambda }(x+vt)}\]

ある位置での振動(\( yt \)グラフ)が与えられているとき

与えられた条件:葉っぱパターン

位置\( x=0 \)での媒質の振動が下図のように与えられたとしよう。

\[ y = A\sin{2\pi ft} \]

これはある特定の位置(\( x=0 \))で媒質がどのように振動するのかを表している。その位置で媒質は下のように動く。

海に葉っぱが浮かんでいるようなものだ。

海全体を見ると、波はこのようになっている。この波の式が、今求めたいものである。

波の式を求める

位置\( x=0 \)での振動は次の式で表せていた。

\[ y(t,x=0) = A\sin{2\pi ft} \]

波が右向きに\( x \)だけ進むのに\( \frac{x}{v} \)秒かかるので

次の2つの変位は同じである!

  • 時刻 \( t-\frac{x}{v} \), 位置 \( 0 \)
  • 時刻 \(t \), 位置 \( x \)

このことから、

波の式

\[ y(t,x) = y(t-\frac{x}{v},x=0) = A\sin{2\pi f(t-\frac{x}{v})} \]

これが求めたかった波の式だ。

 

かきのたね
かきのたね

このパターンの問題でも波数\( k = \frac{1}{\lambda } \)を使うと、波の式をこのように綺麗に書き直せるよ。

\[ y(t,x) = A\sin{2\pi (ft-kx)} \]

 

上の解説では波が右向きに進んでいるものとした。

波が左向きに進んでいるときは、波は左向きに速さ\( v \)で原点に向かっていく(\( x>0\)のとき)。位置\( x\)の波が原点まで進むのに\( \frac{t}{v} \)秒かかるので、次の2つの変位が同じとなる。

  • 時刻 \( t+\frac{x}{v} \), 位置 \( 0 \)
  • 時刻 \(t \), 位置 \( x \)

このことから、波の式はこのように変わる。

\[ y(t,x) =A\sin{2\pi f(t+\frac{x}{v})} \]

まとめ

右向きに進む波の式

写真パターン:\( yx \)グラフ\( y=y(t=0,x) \)から求める

\[ y(t,x) = y(t=0,x-vt) \]

葉っぱパターン:\( yt \)グラフ\( y=y(t,x=0) \)から求める

\[ y(t,x) = y(t-\frac{x}{v},x=0) \]

左向きに進む波の式

写真パターン:\( yx \)グラフ\( y=y(t=0,x) \)から求める

\[ y(t,x) = y(t=0,x+vt) \]

葉っぱパターン:\( yt \)グラフ\( y=y(t,x=0) \)から求める

\[ y(t,x) = y(t+\frac{x}{v},x=0) \]

わかりやすい!
高校物理の家庭教師

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