【応用】わかりやすい！　同心円筒形コンデンサーの電気容量の求め方

どうも、かきのたねです。

前回は平行平板コンデンサーを例として、どのように電気容量を求めるのかを解説しました。

わかりやすい！　電気容量Cの公式の求め方どうも、かきのたねです。 平行平板コンデンサーの公式\( C=\frac{\epsilon _{0}S}{d} \)はよく使う公式...

【応用】分かりやすい！　同心球形コンデンサーの電気容量の求め方どうも、かきのたねです。 前回は、同心円筒形コンデンサーについて解説しました。 https://kakinotane-blo...

今回は同心円筒形コンデンサーの電気容量の求め方を解説します。このようなコンデンサーはあまり見慣れていないため難しく感じるかもしれませんが、実は簡単に導出できてしまいます。

では、どのように電気容量を求めるのか見ていきましょう。

電気容量の求め方

Step1

蓄えられた電気量\( Q \)を使って、極板間の電場を求める。

Step2

求めた電場から、極板間の電位差\( V \)を求める。

Step3

電気容量の定義\( C = \frac{Q}{V} \)を使って、コンデンサーの電気容量\( C \)を求める。

一様でない電場から電位差を求める方法

平行平板コンデンサーの場合は極板間の電場が一様であったため、極板間の電位差を求めるのは簡単であった。しかし例えば電場が原点からの距離に依存する場合、電位差を求めるのは簡単ではない。

２点間の電位差とは、１クーロンの電荷を２点間で移動させるのに必要な仕事であった。

例えば電気量\( Q \)の点電荷の場合、その周りには\( E(r) = \frac{Q}{4\pi \epsilon_{0}}\frac{1}{r^{2}} \)の電場ができる。原点からの距離が\( r=a \)の位置と\( r=b \)の位置との電位差Vは、次のような積分で求められる。

同心円筒形コンデンサー

2枚の円筒形極板間の電場

まずは中心軸からの距離が\( r \)の位置での電場の大きさ\( E(r) \)を求めてみよう。

蓄えられている電気量が\( Q \) であるとき、正に帯電した極板からは\( \frac{Q}{\epsilon_{0}} \)本の電気力線が湧き出し、負に帯電した極板には\( \frac{Q}{\epsilon_{0}} \)本の電気力線が流入する。

この同心円筒形コンデンサーの中心軸に沿ってコンデンサーを見ると、電気力線は次のような分布になる。

内側の円筒の半径を\( r=a \)、外側の円筒の半径を\( r=b \)とし、高さを\( l \)とする。電気力線は極板間のみに存在し、\( N=\frac{Q}{\epsilon_{0}} \)本が等方的に分布している。

電場の大きさは電気力線の密度であったので、中心軸から離れれば離れるほど電場は弱くなる。

具体的に計算してみよう。半径\( r \)の円筒の側面積は\( S(r) = 2\pi lr \)なので、この側面を垂直に貫く電気力線の密度\( E(r) \)はこのようになる。

この式を見てわかる通り、電場の大きさは中心軸からの距離に反比例している。

2枚の円筒形極板間の電位差

電場が求まったので極板間の電位差も求まる。しかし電場の大きさが中心軸からの距離に依存しているため、積分計算が必要となる。中心軸からの距離\( r=a \)の極板と、\( r=b \)の極板との電位差\( V \)は次のように計算できる。

同心円筒形コンデンサーの電気容量

これで\( Q \)と\( V \)の関係がわかったので、電気容量\( C \)が求められる。

まとめ

わかりやすい！
高校物理の家庭教師

最後まで読んでくださり、ありがとうございます(｀・∀・´)

Twitterで更新情報などをツイートするので、少しでもこの記事が面白いと思っていただけたら是非フォローお願いします！

この分野の説明をして欲しいといったリクエストも随時募集しております。お問い合わせやTwitterなどからご連絡下さい！

Twitterをフォロー