電磁気

【応用】分かりやすい! 同心球形コンデンサーの電気容量の求め方

どうも、かきのたねです。

前回は、同心円筒形コンデンサーについて解説しました。

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【応用】わかりやすい! 同心円筒形コンデンサーの電気容量の求め方どうも、かきのたねです。 前回は平行平板コンデンサーを例として、どのように電気容量を求めるのかを解説しました。 https:...

今回は、同心球形コンデンサーの電気容量の求め方を解説します。このようなコンデンサーはあまり見慣れていないものだと思いますが、やり方は前回までと全く同じで簡単です。

では、どのように電気容量を求めるのか見ていきましょう。

この解説では以下の積分を用います。

\[ \int \frac{1}{x^{2}} dx = – \frac{1}{x} + (積分定数) \]

電気容量の求め方

Step1

蓄えられた電気量\( Q \)を使って、極板間の電場を求める。

Step2

求めた電場から、極板間の電位差\( V \)を求める。

Step3

電気容量の定義\( C = \frac{Q}{V} \)を使って、コンデンサーの電気容量\( C \)を求める。

同心球形コンデンサー

2枚の球形極板間の電場

まずは中心からの距離が\( r \)の位置での電場の大きさ\( E(r) \)を求めてみよう。

蓄えられている電気量が\( Q \) であるとき、正に帯電した極板からは\( \frac{Q}{\epsilon_{0}} \)本の電気力線が湧き出し、負に帯電した極板には\( \frac{Q}{\epsilon_{0}} \)本の電気力線が流入する。

このコンデンサー内部の電気力線の分布を見てみよう。絵を立体的に描くのは難しいので、球の中心を通る断面を下に描いた。

内側の球の半径を\( r=a \)、外側の球の半径を\( r=b \)とする。球形金属内は電気力線が存在できない(金属内の電場は必ずゼロ)ので電気力線は極板間のみに存在し、\( N=\frac{Q}{\epsilon_{0}} \)本が等方的に分布している。

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電場の大きさは電気力線の密度であったので、中心から離れれば離れるほど電場は弱くなる。

具体的に計算してみよう。半径\( r \)の球の表面積は\( S(r) = 4\pi r^{2} \)なので、この表面を垂直に貫く電気力線の密度\( E(r) \)はこのようになる。

\[ E(r) = \frac{N}{S(r)} = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_{0} r^{2}} \]

この式を見てわかる通り、電場の大きさは中心軸からの距離の2乗に反比例している。

2枚の球形極板間の電位差

電場が求まったので極板間の電位差も求まる。しかし電場の大きさが中心からの距離に依存しているため、積分計算が必要となる。中心からの距離\( r=a \)の極板と、\( r=b \)の極板との電位差\( V \)は次のように計算できる。

\[ V = \int_{a}^{b} E(r) dr = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_{0}} \int_{a}^{b} \frac{1}{r^{2}} dr = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{b-a}{ab} \]

同心球形コンデンサーの電気容量

これで\( Q \)と\( V \)の関係がわかったので、電気容量\( C \)が求められる。

\[ C = \frac{Q}{V} = \frac{4 \pi \epsilon_{0} ab}{b-a} \]

まとめ

  • 電気量\( Q \)が蓄えられた同心球形コンデンサーの極板間の電場の大きさ(中心からの距離\( r \))
\[ E(r) = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_{0} r^{2}} \]
  • 極板間の電位差は
\[ V = \int_{a}^{b} E(r) dr = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{b-a}{ab} \]
  • 電気容量
\[ C = \frac{Q}{V} = \frac{4 \pi \epsilon_{0}ab}{b-a} \]
わかりやすい!
高校物理の家庭教師

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